By R Gregory

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La soluzione generale Xk = c1 cos θk + c2 sin θk dove θ `e l’unico angolo in (0, π/2) espresso in radianti che risolve cos θ = 4/5, oscilla attorno all’equilibrio, ma non `e periodica. Infatti, l’angolo θ = arccos (4/5) non `e un sottomultiplo di 2π. Per riassumere il senso generale degli ultimi due esempi, osserviamo che nei casi in cui sono presenti soluzioni dell’equazione caratteristica di forma λ1,2 = cos θ ± i sin θ, allora la soluzione generale contiene termini del tipo Zk = c1 cos (θk) + c2 sin (θk) .

4 Ricerca di soluzioni particolari con secondi membri di tipo particolare Studiamo ora il caso lineare non omogeneo con il secondo membro non costante, cio`e dipendente da k. In questa sezione determiniamo le soluzioni con il metodo elementare detto metodo dei coefficienti indeterminati. Nel successivo paragrafo discutiamo una tecnica meno elementare ma pi` u generale, cio`e la Z-trasformata. 30. 31. 16). 32. 16) si esprimono come Y + X ove X `e una soluzione dell’equazione omogenea corrispondente.

Individuare un sistema di due equazioni che descriva in forma ricorsiva le quantit` a Yk+1 e Xk+1 delle due sostanze radioattive dopo k + 1 anni. 4. (Ammortamento uniforme) Un prestito di importo S viene rimborsato in n rate a quote capitale costanti di importo C, cio`e C = S/n. Si fornisca un’equazione ricorsiva che esprima la k-esima quota interessi Ik calcolata al tasso costante r sul debito residuo Dk , ricordando che Dk+1 = Dk − C. Se ne calcoli poi l’espressione in forma chiusa (Dk come funzione della sola k).

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