By Rudolf Zurmuhl

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7. , sin W, cos W einführen. Alle diese Funktionen aber lassen sich auf Polynome zurückführen, eine Eigenschaft der Matrizen, für die es beim Rechnen mit gewöhnlichen Zahlen keine Parallele gibt. Beispiel: p(x) = x2 ~= p(W) = W2 + 2x + 5, + 2W + 5~ = = (-! =~) + (~ -:) + (~ ~) (1~ -1~). 7. Die Gaußsehe Transformation Als eine Verallgemeinerung des Normquadrates a'a eines reellen Vektors a läßt sich die sogenannte Gaußsehe Transformation (38) einer reellen m n-Matrix W auffassen. Das Ergebnis ist eine n-reihige quadratische Matrix ~.

Spaltenregulär. Sie verhalten sich in mancher Hinsicht wie nichtsinguläre quadratische Matrizen; vgl. 2, Satz 5 und 6. Eine zeilenreguläre quadratische Matrix, r = m = n, aber ist zugleich spaltenregulär, also regulär= nichtsingulär schlechthin. Eine gewisse Rolle spielt schließlich noch die sogebannte. Spur der quadratischen Matrix, worunter man die Summe der Hauptdiagonalelemente aii versteht: ,--------------------------, j sp 2! = s = a11 + ~2 + · · · + a""j. {30) Sie erweist sich, wiewir später sehen werden, ebensowiedie Determinante der Matrix gegenüber gewissen Umformungen, sogenannten Koordinatentransformationen, denen die Matrix unterworfen werden kann, als invariant.

Ak' = I (42b) (Jik • Außer den Spaltenvektoren einer Orthogonalmatrix bilden also auch ihre Zeilenvektoren ein System orthogonaler Einheitsvektoren. Auch die orthogonalen Matrizen fallen zufolge 5ll:'5ll: = 5ll:5ll:' in die oben angeführte Klasse der (reell) normalen Matrizen. Die Gln. (43) bedeuten zugleich, wie sich im nächsten Abschnitt zeigen wird, daß die Transponierte 5ll:' einer Orthogonalmatrix 5ll: ihre Kehrmatrix bildet. Sind 5ll: und 58 zwei orthogonale Matrizen gleicher Reihenzahl n, so sind auch ihre Produkte 5ll: 58 und 58 5ll: orthogonal: (5ll:58)' (5ll:58) = 58'5ll:'5ll:58 = 58'@58 =58' 58=@' (585ll:)' (585ll:) = 5ll:'~'585ll: = 5l{'@5l{ = 5ll:'5ll: =@.

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