By Hubert Weber

Dieses Buch ist eine leicht zugängliche Einführung in die Theorie und praktische Handhabung der Laplace-, Fourier- und z-Transformation. Während Fourier-Reihe und Fourier-Transformation hauptsächlich zur Darstellung des Frequenzverhaltens von Signalen und Systemen eingesetzt wird, können mit der Laplace-Transformation lineare Differentialgleichungen gelöst und umfassende zeitkontinuierliche sign- und Systemuntersuchungen durchgeführt werden. Die z-Transformation wird zur Lösung von linearen Differenzengleichungen und zur Beschreibung diskreter Signale und Systeme verwendet. So werden beispielsweise lineare Differentialgleichungen des Zeitbereiches durch L-Transformation zu algebraischen Gleichungen des Bildbereiches, die wesentlich einfacher zu lösen sind. In gleicher Weise vereinfacht die z-Transformation die Behandlung linearer Differenzengleichungen zu algebraischen Gleichungen. Die Verwendung von Korrespondenztabellen und Transformationsregeln eröffnet einen einfachen Weg, die transformierten Funktionen bzw. deren Lösungen wieder im ursprünglichen Zeitbereich zu erhalten. Durch diesen Vorteil erlangten diese Transformationen ihre Bedeutung auf vielen Gebieten, wie beispielsweise der Elektrotechnik, der Signalverarbeitung, der Systemtheorie, der Informationstechnik und der Regelungstechnik. Das Buch bildet ein Fundament für weitergehende, spezielle Probleme und Anwendungen aus diesem Themenkreis.

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So bedeutet die Korrespondenz 1 t Dx s2 1 und der Bildfunktion Der Zeitfunktion f ( t ) t entspricht die Bildfunktion F ( s) s2 1 entspricht im Zeitbereich die Funktion f ( t ) t . 7 Sprungfunktion H ( t ) Für die Zeit t = 0 ist durch diese Definition keine Aussage über die Sprungfunktion gemacht. Die Sprungfunktion tritt insbesondere bei den Anwendungen der Laplace-Transformation in der Elektrotechnik häufig auf. Sie beschreibt etwa einen idealisierten Einschaltvorgang einer Gleichspannung von 1 V zum Schaltzeitpunkt t = 0.

3 Die durch die Gleichung f ( t) = 1 2S f ³ F (Ȧ) e j Ȧt dȦ f definierte Transformation, heißt inverse Fouriertransformation. 19) Das folgende Beispiel soll zeigen, dass schon für eine einfache Zeitfunktion die Fouriertransformation nicht ohne weiteres durchgeführt werden kann. 7 Sprungfunktion Mit Gl. 7) erhält man F (Z ) F ^ H (t ) ` f ³e f  jZ t ª e jZ t º « » ¬«  jZ »¼ 0 dt 0 lim t of ª 1  jZ t º 1 e « » ¬ jZ ¼ jZ Da e  jZ t = cos(Z t ) + jsin(Z t ) für t o f nicht definiert ist, kann man auf diese Weise die Fouriertransformierte der Sprungfunktion nicht erhalten.

34) durch Einsetzen der Zeitfunktion f(t) = 1. Anschaulich gesehen, ergibt sich für die Deltafunktion an der Stelle t = 0 ein unendlich großer Funktionswert. Man findet daher auch die Angabe ­0 für t z 0 ¯f für t 0 G (t ) ® Eine Funktion mit den Eigenschaften der Deltafunktion ist im Rahmen der klassischen Analysis nicht vorstellbar. Die Deltafunktion wurde daher vielfach als "Pseudofunktion" bezeichnet und fand erst in einer neuen mathematischen Disziplin als "Distribution" oder "verallgemeinerte Funktion" eine Erklärung.

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